☆ Leibniz et Vandermonde

Soit $n$ un entier naturel non nul. On note $f^{(n)}$  la dérivée $n$ - ième d'une fonction $f$  et on admet la formule suivante, appelée formule de Leibniz.

Si $f$  et $g$  sont $n$  fois dérivables sur un intervalle $I$ , alors le produit $fg$  est $n$  fois dérivable sur $I$  et $\boxed{{\displaystyle {\left(fg\right)}^{(n)}={\displaystyle \sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(k)}{g}^{(n-k)}}}}$  , avec $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})={\displaystyle \frac{n!}{k!(n-k)!}}}}}$ .

On considère la fonction  ${\phi }_n$  définie sur $\mathbb{R}$  par ${\phi }_n(x)=x^{2n}$ .

1. Vérifier que, pour tout réel $x$ ,   ${\phi }_n^{(n)}(x)={\displaystyle \frac{(2n)!}{n!}}{x}^n$ .

2. On considère, pour tout entier naturel $n$  non nul, la fonction $f_n$  définie sur $\mathbb{R}$  par $f_n(x)=x^n.$
$$     a. Pour tout entier naturel   $k$  inférieur ou égal à  $n$  et pour tout réel  $x$ , calculer $f_n^{(k)}(x)$  et $f_n^{(n-k)}(x)$ .
    b. En écrivant ${\phi }_n$  sous la forme ${\phi }_n(x)=x^n{x}^n$  et en utilisant la formule de Leibniz, démontrer la formule de Vandermonde : ${\displaystyle \sum _{k=0}^n{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}^2=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}$ .